第18回東京男声合唱フェスティバルの人気投票結果の推定

先のエントリで書いた通り、2018年11月10日に開催された東京男声合唱フェスティバルに参加してきました。

bata64.hatenablog.jp

当日行われた人気投票の結果について、判明している事は以下の3点です。

全59団体中、上位20団体についての、人気投票の「総合順位」「団体順位」「観客順位」および人気投票の総得点

参考：
http://tokyochorus.com/event/male/vote/

人気投票の得点は団体1票＝5点、観客1票＝1点であること

後日送付されてきた自団体の団体順位と観客順位、総合順位

「かながわフリーダム・シンガーズ」は

団体投票：17位
観客投票：32位
総合で31位

明らかにされていない「何票投票されたのか？」という事が気になったので、明らかになっている情報を元に計算をしてみました。
先に結論を書いておくと下表の通りではないか？という結果となりました。
なお、念の為ですがこれは東京都合唱連盟の公式見解ではなく「もしかしたらこうではないか？」と私が考えただけに過ぎませんので、その点ご留意ください。
あと、かなり泥臭く計算しましたが、数学的にもっとエレガントな解法があるのではないかと思ったりしましたが、私の知識では思いつきませんでした。
誰か解法を編み出して下さったり、そもそも間違いである、といったご指摘がありましたら是非お願いします。

総合順位	団体順位	推定団体得票数	観客順位	推定観客得票数	団体名	総得点
1	1	9	2	39	インターカレッジ男声合唱団 Voces Veritas	84
2	6	3	3	36	La bella patria	51
3	11	2	1	40	トンペイ・メモリアルズ18	50
4	2	5	4	24	Speranza Oriente	49
5	2	5	6	23	大東京youngsters	48
6	4	4	12	16	首都大学東京グリークラブ	36
7	4	4	20	10	男声合唱団「タダタケを歌う会」	30
8	17	1	4	24	Actinia	29
9	17	1	6	23	東京バーバーズ	28
9	17	1	6	23	Mu Project	28
9	6	3	14	13	Sentirusi Eccitato	28
12	17	1	9	20	男声合唱団シンサーンズ	25
13	17	1	11	19	桐蔭学園中学校・高等学校グリークラブ	24
14	17	1	12	16	国立四工大ＯＢ男声合唱団	21
14	6	3	32	6	Orpheus Singers	21
16	37	0	9	20	はまだグリークラブ	20
17	11	2	22	9	Belle Equipe	19
17	11	2	22	9	The Lockers	19
17	6	3	38	4	Ensemble coup de coeur	19

実施した手続き

総得点は

とすると、

という2元1次方程式で表現されます。

次に、上位20団体の成績一覧に登場する順位のうち、登場する団体順位は
1位、2位、4位、6位、11位、17位、37位
の7つです。
団体順位は観客順位に比べて投票者が少ない(最大で59票)ので観客順位より推定しやすいと思われますので、こちらをとっかかりにします。

値を仮定して方程式に代入してみる

59団体が投票した結果である37位は最下位またはその次くらい、すなわち1票または0票ではないかと仮定してみます。
上位20団体の成績一覧で団体順位が37位の団体「はまだグリークラブ」は観客順位が9位、総得点は20です。
まず、団体37位の得票数を「1」と仮定します。上記方程式にて

とすると

なので、


となり、観客順位が9位の仮の得票数は15となります。

「はまだグリークラブ」の他に観客順位が9位の団体としては、
団体17位、観客9位、総得点25の「男声合唱団シンサーンズ」がいます。
観客9位の得票数が15、すなわち方程式にて

とすると

なので、


となり、団体17位の仮の得票数は2となります。

この調子でたどっていくと以下のような結果となりました。
観客38位の得票数は、32位が「1」であることから「0」以外の値はとれないことになります。
が、団体6位、観客38位、総得点19である「Ensemble coup de coeur」に当てはめると、団体6位は4票なので、

となってしまい等号が成立しません。成立させるためには観客38位は「-1」でなければなりませんが、投票でマイナスは発生しません。

よって、団体37位の得票数は「1」ではないと思われます。

団体37位の得票数が「1」の場合の推定団体得票数

団体順位	推定団体得票数
1	8 or 9 or 10
2	6
4	5
6	4
11	3
17	2
37	1

団体37位の得票数が「1」の場合の推定観客得票数

観客順位	推定観客得票数
1	45
2	34 or 39 or 44
3	31
4	19
6	18
9	15
11	14
12	11
14	8
20	5
22	4
32	1
38	※

次に、団体37位の得票数を「0」と仮定します。同様のやり方で推定していった結果、以下の通りとなりました。
今回は上位20団体全てに矛盾無く値が収まりました。
よって、この結果が確からしいように思われます。

団体37位の得票数が「0」の場合の推定団体得票数

団体順位	推定団体得票数
1	9
2	5
4	4
6	3
11	2
17	1
37	0

団体37位の得票数が「0」の場合の推定観客得票数

観客順位	推定観客得票数
1	40
2	39
3	36
4	24
6	23
9	20
11	19
12	16
14	13
20	10
22	9
32	6
38	4

自分たちの得票はどれくらいだったのか

かながわフリーダム・シンガーズは団体得票数は1票(17位)、観客得票数は6票(32位)で、総得点11点と思われます。

では。